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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 )z6N;`El  
?qxgkpYx~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. =|E6$`V!k  
qNfzm38>3  
　　1、三角函数本质： mRl+iC2v}  
QmO6~Y  
　　三角函数的本质来源于定义 ,.or,{3U  
s^r;"  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 "Y `}g  
Tb/QtU7*p  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -W't) /+  
SZFKPH  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： I{q2G/)5  
w^$`F5Q  
　　推导： (<2 s@  
>Xev^K  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 R5!f?.  
%_LQI:D%  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -9G?B$V  
v8_C@I\c;  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) l0Lhr#5\-  
I/L+4U3 ei  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 J_"JqsSZ  
H(k"'v  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） g<,C~#I4  
l|w\aO<J"7  
　　[1] 9t;=@;/'2  
.Q"QA  
　　两角和公式 #3Makga:  
`cvh{b_A,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ;2]H?)e/e  
ZISsWV`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  #^5M* p  
O$D] Hu6_  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB GZ THw  
=NEySc  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB z]t[)A0omI  
<V y2ZM9  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) A@4Vi6S  
~(*)<S%  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ; W$a  
~S^1L->[  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  A -uqQ  
5{rb  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) np0"#Rqf  
}p+NR{cU  
倍角公式 _/K?]g\Q  
zMro,3V:w  
　　Sin2A=2SinA•CosA ?N Yb7#  
OhB)(  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9P&\0K_  
sPi en\  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） t hNN O  
agR f-F&  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ZNn#Em5`QG  
k*7T _<U  
三倍角公式 '|Y;kE  
1VY)k^,TqG  
　　 !-N12Nw`  
c^ C3Gv<U  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) BKjp~6L|V  
k 6@S%>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) x<#'TP G  
ZBf !b|+Y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 1 ]lXOjs}  
a}(tAdHO|`  
三倍角公式推导 3$rH`W  
NZH^Dha@  
　　sin3a ,>e-pi  
Es2,W[u:|  
　　=sin(2a+a) *pYT;ov?H)  
S Rk#<S   
　　=sin2acosa+cos2asina lU#&$"8/  
uo";J^:  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p;zS^n-e4q  
!{spa#U  
　　=3sina-4sin³a &y,Ve(8  
s3W; q]  
　　cos3a :34 7w017z  
l3,D)SZ(&  
　　=cos(2a+a) Ok,k0[%F&  
/S[L dIV  
　　=cos2acosa-sin2asina qPGj\DH8O  
:]TZJ26U )  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 8=rYsz+lz  
D#%l]%n  
　　=4cos³a-3cosa ^6>`x9  
EG_>Y6?  
　　sin3a=3sina-4sin³a fF[V{ '  
y_ju?+]}  
　　=4sina(3/4-sin²a) Jbi,l:  
<|wG8S  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 8g%yt2?  
i:IJpb /\  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) j.|:`>  
0)S-Og y  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) lDH$?&`F"q  
[5eM/|@A/  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] L,/IT ^]\  
!kKITTY}h  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Ep {vf#e  
J=)"H9  
　　cos3a=4cos³a-3cosa YBCm^4 GT  
imie)Zhf~>  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |lmn^z<  
5+j~z1mdR  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Yv``S$rt}p  
KpQ2#  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) W:OL(\w)5  
Ou`0]Nn  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 6C J8.y  
@D5vXDP]  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} _v2xF4o  
iT+B 7I%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) # Gi$W{D  
"IuE]17b]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Eoi kR*  
i fy1ff$  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] /97V8  
D# "' 1Er  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Uis1/ELIW  
%Mh|OU%Z  
　　上述两式相比可得 N4p1)E),K  
qVW )"M]go  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) )= 9e;;S  
(Ej|e}75  
半角公式 ou-Wz{*  
g%m%Zh  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); &M;{9RL.  
^5d27DxZ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. )ULr.^T`1  
}XUfJ,w&  
和差化积 6/'q 5 f  
Te!g7}  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qQqZ!y'  
ESgx/eCe}g  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wb+3Nk  
lSf %pPKD  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] q0LLsk;  
G5DCc5o  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] F_GEU0$-*^  
zE=ts  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;@xYL]c  
\JF^hnf$}  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 7PVWA 0lO  
x]2p0%p*dh  
积化和差 b. F(uD_":  
&y-dG.n  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] xv`..m\6  
CF7EnMTRH  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 9d+=@jLU8,  
LMs!i (  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ldT7Lkt  
D4-iO7o'  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Z[yXH":O!  
^t(rz}mc~f  
诱导公式 w]B+`&y  
Ar}C $lg5  
　　sin(-α) = -sinα jR%-6P  
|&:%h'*w2B  
　　cos(-α) = cosα =-& S:qw  
8N?dk4  
　　sin(π/2-α) = cosα n fe5e=  
lEA4QaJ|  
　　cos(π/2-α) = sinα S$|vY!Mr)6  
U~ztU@vzuT  
　　sin(π/2+α) = cosα YrBVZ;  
t),#X<tsr4  
　　cos(π/2+α) = -sinα *g,NL  
IwY}8C9 i  
　　sin(π-α) = sinα 2qb+~GpLKP  
w*Sw&4:|  
　　cos(π-α) = -cosα >Eyx:1  
]*^4PSLb  
　　sin(π+α) = -sinα $`R;8/o8:  
^p;poM*l  
　　cos(π+α) = -cosα i=:@TD8M?X  
'dgq4XyEWg  
　　tanA= sinA/cosA prx6Oxs  
a'bljOpS~:  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα tJ]8a#p  
SZN8Cs+  
　　tan（π/2－α）＝cotα !a"(mR  
??J)p#`  
　　tan（π－α）＝－tanα Gkm;F|=zr  
}85kd}4  
　　tan（π＋α）＝tanα \+kO_+l-*  
qIM-,BJ~C  
万能公式 iD-i]BQ  
nM>s/!>W  
　　 K;>.qT[l$  
jt5~$-  
其它公式 9ZZ$BY  
A(m;`_{Kl/  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 nuPHu*t  
xH\!;uP-  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 OMH8C\  
m}@| &a  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 BeusxYp  
lt'.Zh}xE%  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 N 0Qv]G  
MkrIj`  
　　对于任意非直角三角形,总有 nHN-.I  
v #>t9f%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :5!pZ2L:z  
ZM$e7s+ }  
　　证: "yaCO{M^  
fS`ad1(}  
　　A+B=π-C O,""nU{;  
] 5@0}j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) r4j{  
zCp`PuB  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2^k^ ufzM  
m ?Zp,VN  
　　整理可得 UYS~$'}u  
) A8\e81I  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =EkI_MNo  
Z<" HU;fuQ  
　　得证 <(j,h0xPp  
(te, h?<i7  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 *e"1 f3  
( "% r:e  
其他非重点三角函数 EC* ^:nP  
#FIQ6$9$#  
　　csc(a) = 1/sin(a) yxot_6  
.\~R?t$F  
　　sec(a) = 1/cos(a) tuR94+8u&  
gWA_;N}`  
　　 &~Di&;1  
Hc^RFXcn  
双曲函数 fQF=/rZ$  
vM]EvxbB  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 1wd2R$W*U  
XP'lR]f|(9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 3[gkB  
(\q StQ5o  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) v9hpV (q*g  
n-BKe/80  
　　公式一： C|s  1=v  
m`_JqRo  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： c]u)Ww."~  
9Iq2  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Uv mw ld  
0^BxnWP|u  
　　cos（2kπ＋α）= cosα wwU2 w^  
EWKR!dgzv  
　　tan（kπ＋α）= tanα "Ur3+%X .2  
FNHoWg  
　　cot（kπ＋α）= cotα 6qw=Hm`  
gh4w7q|:2  
　　公式二： Wz9Y&7  
%$\!B{g?  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： %(qz- ;  
I#ex?<O  
　　sin（π＋α）= -sinα U)H4_g#YG  
/ SPq  
　　cos（π＋α）= -cosα 2BlRQLvl  
\8wH|@/ F  
　　tan（π＋α）= tanα Pb>kMr0  
?_dP>3fb  
　　cot（π＋α）= cotα kzkX@  
55;6 z8#c  
　　公式三： 5I=k*J_  
\Z^\\*h14  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 9 D+Hp  
Xeri /vA  
　　sin（-α）= -sinα & 2no Q2]F  
KBDGmRm  
　　cos（-α）= cosα 2s]r~2ch  
}z} DH>r  
　　tan（-α）= -tanα q)+tV% r  
T2*7ar?o  
　　cot（-α）= -cotα 0+ ' d9l  
zN&zJtKxC  
　　公式四： wmU[;A  
9eDNT%xI  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Nd^eC l  
i| |Q!)R  
　　sin（π-α）= sinα *`Q2j  
;b0\#"}d  
　　cos（π-α）= -cosα %4pa|8%m0.  
WZN:q@QZ  
　　tan（π-α）= -tanα wBOCLyV/%  
>ORXeUCz!z  
　　cot（π-α）= -cotα |<'ZZ{  
lSbGd2hJ55  
　　公式五： +[6ts[G)  
zYh(q8  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： i0.$X(-~A  
]C4EV;>az)  
　　sin（2π-α）= -sinα \v}Pcp|  
,k&*AVk  
　　cos（2π-α）= cosα @Oe`8w,  
]|t~XwNI  
　　tan（2π-α）= -tanα u)`-^IDLB  
CU$R! ZKD  
　　cot（2π-α）= -cotα %T(f1;]Z  
qu'Erp391B  
　　公式六： (e6s#0&i/  
Rd")S&N  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： v !40>q  
~~ji}L"S3N  
　　sin（π/2+α）= cosα v+1ZyEl)  
`gWKKh'uQ  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5 _-aq _  
H,l+^Q 9  
　　tan（π/2+α）= -cotα X<JwKuwo_a  
|"EFss;T  
　　cot（π/2+α）= -tanα }-/,c*5  
KNx(W;  
　　sin（π/2-α）= cosα Me6 bl $h\  
@}, 5P)  
　　cos（π/2-α）= sinα wh/@kW3  
s7>EC\$3!  
　　tan（π/2-α）= cotα RqsYt:Q)}  
-T.)>dZ  
　　cot（π/2-α）= tanα h^}`.J,@  
,9g5NJ+P  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ('*5"fJq  
Yjc|,]  
　　cos（3π/2+α）= sinα ;_f/wCY  
QZt*T/x  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ot% #KKBm  
lPbzGGAQ  
　　cot（3π/2+α）= -tanα "Dz h\OE  
a5~EP;MW  
　　sin（3π/2-α）= -cosα e@UZ /#c  
\kr-p,  
　　cos（3π/2-α）= -sinα y yGVp  
<b%#_ZKS  
　　tan（3π/2-α）= cotα %K[ .Y8O  
T .2=a2  
　　cot（3π/2-α）= tanα YU+7a[|1s  
eQ, T\x^h  
　　(以上k∈Z) :u<] f  
y2o')sON  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 fhLMu7/  
H(Nc IR9:c  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = m8Ka 'dA  
* nwbSH!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } )+#1H}|Zyh  
wN5O{JV  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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