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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ,AW  <j  
7Ykbqx#G  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ,=XZ 3  
PMC=s&`Hw  
　　1、三角函数本质： w>qDT"~\  
O+I/| -  
　　三角函数的本质来源于定义 X/5_kHx\  
wUB;W"Ez^  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ay'iM K\R  
Z>Y<.@@#  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 wUKL,<!v!  
=lcq< /}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： =BGo)c  
fk`!|j"E  
　　推导： v[MTo  
Hq ?%8C=@  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 m@-kjt=2  
dmk<oBh  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4`Aj01H#5  
NT% {^Z  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) BjmYq1#u  
cJ Ng,{  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 #sz] +<7ER  
4s w(h m  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Q*.G=Rb  
6hCvl"#=m  
　　[1] CQJ-W<h9  
Zpo%qH3SA  
　　两角和公式 c ./hV  
|W5G/G3AA  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB wCV`?yo8H  
`(]gs  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  [e`/kq5  
cQ`xVC  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <+* 0b  
C`B9$GdI  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB -Jns1^  
c*~cF&_/)  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) EATYX!d  
KCKUh+9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]9,;0Vq  
;n _.U3  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  n v]~z  
f4IwYLl=  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6XMOBa$j  
8GBE&Cl  
倍角公式 T}T>+nm  
5lpyTH!?M:  
　　Sin2A=2SinA•CosA # (fy9h  
h_/:*G -  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2M]^3eG6E  
[?l5*=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） KFH7z!%.6  
K=[ iz^%  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） r}y@&  
 G_r bw\  
三倍角公式 d#_S%: @g  
a$K.M9  
　　 _5RionnBW  
%zZ-mNC  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ^x?,Vb\8  
^YA0kME  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) W:\IP;xW&  
$?7 qZv  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) I]h\y# M  
L~(k5\n wq  
三倍角公式推导 :dnwvd_U  
D5< >#sH  
　　sin3a o/wLMN}yt  
o`%t fHC  
　　=sin(2a+a) n:Q&H^:  
mMnxY=+=  
　　=sin2acosa+cos2asina a&]ov%pa  
ug:V,hsSI  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina jZT,#ah%  
-Z!YhZam  
　　=3sina-4sin³a 1OR[s-%st  
?1<jGJ  
　　cos3a =UIW5nxk  
k]d}X'Z  
　　=cos(2a+a) *(Y W*-M^  
v?Gj\@  
　　=cos2acosa-sin2asina E Tqz+Ka  
tS@)|ba9&  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qxwc-udx5  
bH 5 <Sf  
　　=4cos³a-3cosa %xV[0G;`>  
| ):j>&<[  
　　sin3a=3sina-4sin³a N<7bpP0  
f8YK  
　　=4sina(3/4-sin²a) I-bOhW}c  
4\|azj/1=  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Z,+6-5:F  
2IAVTi9M  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) q^Xz -0  
" q{}a<CE  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) GfE~uj  
D4!.v:  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] VXM-2,2  
J+=7kP R5  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) r2)FdHBm  
$Q<1uG. C  
　　cos3a=4cos³a-3cosa $danV)qWv  
("!FYb/Ww  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \Ql1*Ws  
]y&2</  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] gPI4,4w-  
(8 !eaPWQ  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) sTD L%m  
jqUoOoca7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) <) E  
K]M*E3  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Szeg4  
Slhb'GRYt7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) :C| J  
$>h"0F]P  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ( `9$)p  
/68"S  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] iw-"|plR  
: m+eKYL  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) +}p;_*X j  
3p[g) v^#  
　　上述两式相比可得 A+Z, kqt  
f/R- -|g:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) jqf%VY^g  
$51SpE  
半角公式 *F;GNWH3  
< R|m qJt  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); N3h_MXz  
U-wkVQ$J  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Qu5p9Mb  
?TJ>/,!\X  
和差化积 gO\P3uy086  
y)/["U~~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] tPr:+*%t  
Mco_b }4^  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] lEY]Y\p  
4YU!U Y  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @;8 %i_  
5AqBT!  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] _;R;jGs,  
jEJFy3b  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;' &J&F  
I,.TC&\3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 4m81n=  
12g@"</  
积化和差 b|  RNi  
1O1DIqvS  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 2  KbN{k  
N*cz#WCU  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?gb#  
vee$g[~cz  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] "e r1=E@(  
8"o%`@  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] L^h&DEu5   
:<9h"_e-  
诱导公式 #7iwsfc{f  
'9\Qj*  
　　sin(-α) = -sinα lm8|`   
2(?v\`IQ  
　　cos(-α) = cosα R|BVM^  
?^kuO?6  
　　sin(π/2-α) = cosα \xTPT!  
cbIkH}0  
　　cos(π/2-α) = sinα &LuJ^;P9  
'<g} G  
　　sin(π/2+α) = cosα 8113D GH[}  
0kHM widO!  
　　cos(π/2+α) = -sinα i= ;1* )  
nrX43`?  
　　sin(π-α) = sinα T dTz(*  
-\VuS <U  
　　cos(π-α) = -cosα F| jxh^{<  
) $@l|0  
　　sin(π+α) = -sinα !L:S%aq!  
yrk|>{A|  
　　cos(π+α) = -cosα _c2W7F&:  
7Z:l;u|1y1  
　　tanA= sinA/cosA U7/C+@  
AneU6 Vpb  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα nRpI)vv<q  
p~nKGmYp  
　　tan（π/2－α）＝cotα CF:6Dcn|U  
7a3cu=T  
　　tan（π－α）＝－tanα Y',>{,UT4  
sa1c^+RrS  
　　tan（π＋α）＝tanα `NzX(+q  
x)Avz`TKP  
万能公式 $ =T "z  
1k1~?[UcV  
　　 cSS xG  
?%6&2a )H  
其它公式 zB }y5N %  
Vh ;I4 !aQ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $/y:-0[A  
*O)7A&  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w*`2 ;@]  
u)uL. (N  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 _w;p M\X~  
:1S#hs&OV  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Fdn ?u|  
'FWznJW>%  
　　对于任意非直角三角形,总有 FbO4L/>  
{7MY}wC;@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC /:2R]*$A  
iV-y!f5(  
　　证: 7J%7}HPDX  
\Tu5p%N|  
　　A+B=π-C  < kY;  
Ivw-r<x  
　　tan(A+B)=tan(π-C) cb(.yL+1U  
*w<u \W0  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 7ZS A"#\(^  
F9Zkzc,@N  
　　整理可得 )](dWV *  
OW R8"[[  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )^td+v )l  
l!@c|<n  
　　得证 / At^J;  
O wsm^ gC#  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 = 0 Y},~Tx  
, x&F_|  
其他非重点三角函数 :T?9lo[u3  
 ?1v Zbot  
　　csc(a) = 1/sin(a) yy1VgIT   
L RF1-fzJG  
　　sec(a) = 1/cos(a) _-kvZ  
a mKrj=  
　　 $YdYgTJ  
G#4@ 34wsa  
双曲函数 EzO(P)KJ,  
.:TT8  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 kH;::sS  
*H+:tox=Et  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 PF)v&k  
C}gIrc  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) nJf<o:+  
(a3 l8rR  
　　公式一： %(l``[  
3ZWXxT-X  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )@f2: yzG  
3.Gf% ;O  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 6H"f1k  
5o&rq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα G]z<v_(m  
 -=o&_gF  
　　tan（kπ＋α）= tanα fxNF5DX  
Wip;8cL  
　　cot（kπ＋α）= cotα ic8b@zWOxO  
wbz9l[["V  
　　公式二： t2, pk;X  
un: fafy-I  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ~ L14iQ,H  
%}` J3a>q  
　　sin（π＋α）= -sinα =5;Qt +$  
J,m& f  
　　cos（π＋α）= -cosα (0RF;G"U  
yfZ{1h  
　　tan（π＋α）= tanα [^N?poCs  
~"% ++B0^/  
　　cot（π＋α）= cotα :L1tM_s  
)6z/2`!U  
　　公式三： %ulj{Ok:[B  
]gL EIEF  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !d9tV0  
E/d<m8]  
　　sin（-α）= -sinα Cxfqq2"Q  
*+pk~H=`  
　　cos（-α）= cosα HwI . ~'4  
x#J a@  
　　tan（-α）= -tanα x&_,vC  
Q U,Z]  
　　cot（-α）= -cotα jOq ,5 [  
(3\=LFxj  
　　公式四： "?X2*^=U/  
Lol7 #@]u  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 3}@>Mer  
k26HbmE  
　　sin（π-α）= sinα ./wJNQ||%  
%$qz?  
　　cos（π-α）= -cosα q?xtjPc2  
By ;G>s  
　　tan（π-α）= -tanα gJFs<&T  
{>oQu_  
　　cot（π-α）= -cotα CZdarf]  
SNztjIxn:4  
　　公式五： O(2\_wI@  
gn5yQ2;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }K%*,  
H}Gjf36zD  
　　sin（2π-α）= -sinα !T ?R^]  
uR&2'd RXG  
　　cos（2π-α）= cosα `EwUx&"  
o:|G,J$  
　　tan（2π-α）= -tanα o,IVuB c  
]Wm.(;NUo  
　　cot（2π-α）= -cotα V/'6B At  
z1iZ2,{$  
　　公式六： gm6<#o  
/HRzS}o;  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： CP(Jw#+  
"q(?6WN*  
　　sin（π/2+α）= cosα 1.7&KMbW  
Ij;Vw+u,0  
　　cos（π/2+α）= -sinα #qz&Eh  
2/dM6D~Lt  
　　tan（π/2+α）= -cotα Ghgxc] <v  
g0.Vt2  
　　cot（π/2+α）= -tanα Mi<oe|0Z+  
5@rw=+gG  
　　sin（π/2-α）= cosα -Z0ru~*1`  
7K{ P0+W  
　　cos（π/2-α）= sinα xo}hc\f  
D T2X8Gj$;  
　　tan（π/2-α）= cotα %8Z"[D  
^0rPGeUJ)  
　　cot（π/2-α）= tanα $Tw/Cf  
,e+\tOb5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα d[V].\*  
2~P -A'P`X  
　　cos（3π/2+α）= sinα +"qq${u [  
CzrLtY  
　　tan（3π/2+α）= -cotα l0W#{e8  
l#Y9'H  
　　cot（3π/2+α）= -tanα n$ !Iq  
ttWC4|`v  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .z^ 769&u  
R{A<VL_BE  
　　cos（3π/2-α）= -sinα /\W5DWkfe  
;[VdV:"oTc  
　　tan（3π/2-α）= cotα Pe35aU/RK*  
4>bKN.Z  
　　cot（3π/2-α）= tanα ~#Q)]xu4K  
2zo8u92  
　　(以上k∈Z) Hj i8nPU  
+Jy{=x( }  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 $ck3o`  
P)2`6'Qa $  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ^vV%Z^j4  
>7<zxgAK  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !OuP&y+c  
3UL0a['|e?  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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